在上一篇博文中，我们介绍了用正则表达式来匹配对应的模式，以实现简单的分词器。然而，正则表达式不是万能的，它本质上是一种有限状态机（finite state machine，FSM）, 无法处理含有递归语法的文本，比如算术运算表达式。要解析这类文本，需要另外一种特定的语法规则。我们这里介绍可以表示上下文无关文法（context free grammer）的语法规则巴科斯范式(BNF)和扩展巴科斯范式(EBNF)。实际上，小到一个算术运算表达式，大到几乎所有程序设计语言，都是通过上下文无关文法来定义的。对于简单的算术运算表达式，假定我们已经用分词技术将其转化为输入的tokens流。1. 算术运算表达式求值
在上一篇博文《Python技法：用re模块实现简易tokenizer》中，我们介绍了用正则表达式来匹配对应的模式，以实现简单的分词器。然而，正则表达式不是万能的，它本质上是一种有限状态机（finite state machine，FSM）, 无法处理含有递归语法的文本，比如算术运算表达式。
要解析这类文本，需要另外一种特定的语法规则。我们这里介绍可以表示上下文无关文法（context free grammer）的语法规则巴科斯范式(BNF)和扩展巴科斯范式(EBNF)。实际上，小到一个算术运算表达式，大到几乎所有程序设计语言，都是通过上下文无关文法来定义的。
对于简单的算术运算表达式，假定我们已经用分词技术将其转化为输入的tokens流，如NUM+NUM*NUM（分词方法参见上一篇博文）。
在此基础上，我们定义BNF规则定义如下：
expr ::= expr + term | expr - term | term term ::= term * factor | term / factor | factor factor ::= (expr) | NUM 当然，这种计法还不够简洁明了，我们实际采用的为EBNF形式：
expr ::= term { (+|-) term }* term ::= factor { (*|/) factor }* factor ::= (expr) | NUM BNF和EBNF每一条规则(形如::=的式子)都可以看做是一种替换，即左侧的符号可以被右侧的符号所替换。而解析的过程中我们尝试将输入文本同语法规则做匹配，通过BNF/EBNF来完成各种替换和扩展。其中，EBNF中包含在{...}*中的规则是可选的，*意味着零个或多个重复项（参考正则表达式）。
下图形象地展示了递归下降解析器(parser)中“递归”和“下降”部分和ENBF的关系：
在实际的解析过程中，我们对tokens流从左到右进行扫描，在扫描的过程中处理token，如果卡住就产生一个语法错误。对于规则，我们将每一条语法规则转变为一个函数或方法，比如上面的ENBF规则就转换为下列的方法：
class ExpressionEvaluator(): ... def expr(self): ... def term(self): ... def factor(self): ... 在调用某个规则对应方法的过程中，如果我们发现接下来的符号需要采用另一个规则来匹配，则我们就会“下降”到另一个规则方法（如在expr中调用term，term中调用factor），则也就是递归下降中“下降”的部分。
有时也会调用已经在执行的方法（比如在expr中调用term，term中调用factor后，又在factor中调用expr，相当于一条衔尾蛇），这也就是递归下降中“递归”的部分。
对于语法中出现的重复部分（例如expr ::= term { (+|-) term }*），我们则通过while循环来实现。
下面我们来看具体的代码实现。首先是分词部分，我们参照上一篇介绍分词博客的代码。
import re import collections # 定义匹配token的模式 NUM = r'(?P<NUM>/d+)' # /d表示匹配数字，+表示任意长度 PLUS = r'(?P<PLUS>/+)' # 注意转义 MINUS = r'(?P<MINUS>-)' TIMES = r'(?P<TIMES>/*)' # 注意转义 DIVIDE = r'(?P<DIVIDE>/)' LPAREN = r'(?P<LPAREN>/()' # 注意转义 RPAREN = r'(?P<RPAREN>/))' # 注意转义 WS = r'(?P<WS>/s+)' # 别忘记空格，/s表示空格，+表示任意长度 master_pat = re.compile( '|'.join([NUM, PLUS, MINUS, TIMES, DIVIDE, LPAREN, RPAREN, WS])) # Tokenizer Token = collections.namedtuple('Token', ['type', 'value']) def generate_tokens(text): scanner = master_pat.scanner(text) for m in iter(scanner.match, None): tok = Token(m.lastgroup, m.group()) if tok.type != 'WS': # 过滤掉空格符 yield tok 下面是表达式求值器的具体实现：
class ExpressionEvaluator(): """ 递归下降的Parser实现，每个语法规则都对应一个方法， 使用 ._accept()方法来测试并接受当前处理的token，不匹配不报错， 使用 ._except()方法来测试当前处理的token，并在不匹配的时候抛出语法错误 """ def parse(self, text): """ 对外调用的接口 """ self.tokens = generate_tokens(text) self.tok, self.next_tok = None, None # 已匹配的最后一个token，下一个即将匹配的token self._next() # 转到下一个token return self.expr() # 开始递归 def _next(self): """ 转到下一个token """ self.tok, self.next_tok = self.next_tok, next(self.tokens, None) def _accept(self, tok_type): """ 如果下一个token与tok_type匹配，则转到下一个token """ if self.next_tok and self.next_tok.type == tok_type: self._next() return True else: return False def _except(self, tok_type): """ 检查是否匹配，如果不匹配则抛出异常 """ if not self._accept(tok_type): raise SyntaxError("Excepted"+tok_type) # 接下来是语法规则，每个语法规则对应一个方法 def expr(self): """ 对应规则： expression ::= term { ('+'|'-') term }* """ exprval = self.term() # 取第一项 while self._accept("PLUS") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一项是"+"或"-" op = self.tok.type # 再取下一项，即运算符右值 right = self.term() if op == "PLUS": exprval += right elif op == "MINUS": exprval -= right return exprval def term(self): """ 对应规则： term ::= factor { ('*'|'/') factor }* """ termval = self.factor() # 取第一项 while self._accept("TIMES") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一项是"+"或"-" op = self.tok.type # 再取下一项，即运算符右值 right = self.factor() if op == "TIMES": termval *= right elif op == "DIVIDE": termval /= right return termval def factor(self): """ 对应规则： factor ::= NUM | ( expr ) """ if self._accept("NUM"): # 递归出口 return int(self.tok.value) elif self._accept("LPAREN"): exprval = self.expr() # 继续递归下去求表达式值 self._except("RPAREN") # 别忘记检查是否有右括号，没有则抛出异常 return exprval else: raise SyntaxError("Expected NUMBER or LPAREN") 我们输入以下表达式进行测试：
e = ExpressionEvaluator() print(e.parse("2")) print(e.parse("2+3")) print(e.parse("2+3*4")) print(e.parse("2+(3+4)*5")) 求值结果如下：
2 5 14 37 如果我们输入的文本不符合语法规则：
print(e.parse("2 + (3 + * 4)")) 则会抛出SyntaxError异常：Expected NUMBER or LPAREN。
综上，可见我们的表达式求值算法运行正确。
2. 生成表达式树
上面我们是得到表达式的结果，但是如果我们想分析表达式的结构，生成一棵简单的表达式解析树呢？那么我们需要对上述类的方法做一定修改：
class ExpressionTreeBuilder(ExpressionEvaluator): def expr(self): """ 对应规则： expression ::= term { ('+'|'-') term }* """ exprval = self.term() # 取第一项 while self._accept("PLUS") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一项是"+"或"-" op = self.tok.type # 再取下一项，即运算符右值 right = self.term() if op == "PLUS": exprval = ('+', exprval, right) elif op == "MINUS": exprval -= ('-', exprval, right) return exprval def term(self): """ 对应规则： term ::= factor { ('*'|'/') factor }* """ termval = self.factor() # 取第一项 while self._accept("TIMES") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一项是"+"或"-" op = self.tok.type # 再取下一项，即运算符右值 right = self.factor() if op == "TIMES": termval = ('*', termval, right) elif op == "DIVIDE": termval = ('/', termval, right) return termval def factor(self): """ 对应规则： factor ::= NUM | ( expr ) """ if self._accept("NUM"): # 递归出口 return int(self.tok.value) # 字符串转整形 elif self._accept("LPAREN"): exprval = self.expr() # 继续递归下去求表达式值 self._except("RPAREN") # 别忘记检查是否有右括号，没有则抛出异常 return exprval else: raise SyntaxError("Expected NUMBER or LPAREN") 输入下列表达式测试一下：
print(e.parse("2+3")) print(e.parse("2+3*4")) print(e.parse("2+(3+4)*5")) print(e.parse('2+3+4')) 以下是生成结果：
('+', 2, 3) ('+', 2, ('*', 3, 4)) ('+', 2, ('*', ('+', 3, 4), 5)) ('+', ('+', 2, 3), 4) 可以看到表达式树生成正确。
我们上面的这个例子非常简单，但递归下降的解析器也可以用来实现相当复杂的解析器，例如Python代码就是通过一个递归下降解析器解析的。您要是对此跟感兴趣可以检查Python源码中的Grammar文件来一探究竟。然而，下面我们接着会看到，自己动手写一个解析器会面对各种陷阱和挑战。
左递归和运算符优先级陷阱
任何涉及左递归形式的语法规则，都没法用递归下降parser来解决。所谓左递归，即规则式子右侧最左边的符号是规则头，比如对于以下规则：
items ::= items ',' item | item 完成该解析你可能会定义以下方法：
def items(self): itemsval = self.items() # 取第一项，然而此处会无穷递归！ if itemsval and self._accept(','): itemsval.append(self.item()) else: itemsval = [self.item()] 这样做会在第一行就无穷地调用self.items()从而产生无穷递归错误。
还有一种是语法规则自身的错误，比如运算符优先级。我们如果忽视运算符优先级直接将表达式简化如下：
expr ::= factor { ('+'|'-'|'*'|'/') factor }* factor ::= '(' expr ')' | NUM 这个语法从技术上可以实现，但是没有遵守计算顺序约定，导致"3+4*5"的运算结果为35，而不是预期的23。故此处需要用独立的expr和term规则来确保计算结果的正确性。
3. 相关包
最后，对于真正复杂的语法解析，建议采用PyParsing或PLY这样的解析工具。如果你对Python代码的抽象语法树感兴趣，可以看下Python自带的ast模块。
参考
- [1] Martelli A, Ravenscroft A, Ascher D. Python cookbook[M]. ” O’Reilly Media, Inc.”, 2015.
- [2] https://cs61a.org/study-guide/regex/
- [3] https://cs61a.org/study-guide/bnf/
- [4] https://zh.wikipedia.org/wiki/巴科斯范式
