微积分小感_{——3.简单积分}

所需的前置知识：
1）函数的概念
2）实数理论
3）极限理论（第0章）
4）导数与微分（第1章）
5）微分学基本定理（第2章）

§1.定积分

—1.定积分的定义

​ 定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子：

求二次函数 /(f(x)=x^2/) 与直线 /(x=0,x=1/) 以及 /(x/) 轴围成的曲边形的面积 /(S/) 。

初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题，我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限，用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么？矩形。那么，我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 /([0,1]/) 等分为 /(n/) 份，以每份的右端点的函数值为高，计算出面积和：

当 /(n/to/infin/) 时，/(S_n/) 趋于 /(S/) ，也就是：

得出结论 /(S=/frac{1}{3}/) 。

​ 更一般的，对于求函数 /(f(x)/) 与直线 /(x=a,x=b/) 以及 /(x/) 轴围成的曲边形的面积，我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 /([a,b]/) 内一定数量的点 /(a=x_0<x_1<x_2</cdots<x_{n-1}<x_n=b/) ，取点可以不均匀（这在极限意义下都是无关紧要的），然后将两点之间的距离 /(/Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}/ (1/leqslant i/leqslant n)/) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 /(/Delta x_i/) ，在区间 /([x_{i-1},x_i]/) 内取一点 /(/xi_i/) ，并以这一点的函数值 /(f(/xi_i)/) 作为矩形的高，算出所有矩形面积之和：

然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点，单纯令 /(n/to/infin/) 是不能达到逼近曲边形面积的效果的（例如取区间 /([a,b]/) 的 /(1/2,1/4,1/8,/cdots,1/2^n/) 处），我们应令 /(/lambda=/max/{/Delta x_i/}/to 0/) ，也就是所有的底边长度的最大值趋于零，才能得到正确结果：

等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]：

形象地看，定积分的符号就是将 /(S/) 拉长成 /(/int/) ， /(f(/xi_i)/) 写成 /(f(x)/) ， /(/Delta x/) 写成 /(/text{d}x/) ，并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。

附注：
此处的 /(/text{d}x/) 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边，但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。

—2.定积分的性质

​ 如上定积分的定义局限于 /(a<b/) 的情况，简单粗暴的补充：

就可以对任意的 /(a,b/) 做定积分了。

​ 定积分满足如下显然的（所谓证明不过是套定义式罢了）运算法则：

/((ⅰ)/quad/) 加减法则：/(/int_a^b{(f(x)/pm g(x))/text{d}x}=/int_a^b{f(x)/text{d}x}/pm/int_a^b{g(x)/text{d}x} /)
/((ⅱ)/quad/) 系数法则：/(/int_a^b{kf(x)/text{d}x}=k/int_a^b{f(x)/text{d}x}/) （ /(k/) 为常数）
/((ⅲ)/quad/) 连接法则：/(/int_a^b{f(x)/text{d}x}+/int_b^c{f(x)/text{d}x}=/int_a^c{f(x)/text{d}x}/)

​ 或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了，但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急，插个题外话，一切便豁然开朗。

§2.不定积分

—1.不定积分的定义

​ 求导是一种将函数变为另一个函数的运算（这被称为“算子”），如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法，我们定义如下的求导的逆运算：

若两函数 /(F(x),f(x)/) 满足 /(F'(x)=f(x)/) ，就称：

/[/int{f(x)/text{d}x}=F(x)+C /]

其中 /(C/) 为任意常数，此运算称为对 /(f(x)/) 的不定积分， /(F(x)/) 称为 /(f(x)/) 的原函数。

常数 /(C/) 的存在，是由于常数不会影响求导结果。正因如此，不定积分的结果不是一个函数，而是一个函数集合 /(/mathbb{F}=/{F(x)+C | C/in/mathbb{R}/}/) ，这也就是其被称为“不定”积分的缘故。

​ 出于严谨，我们要检验一下不定积分的完备性，也就是不会出现 /(G'(x)=f(x)/) 且 /(G'(x)/notin/mathbb{F}/) ：

证明： /(F'(x)=G'(x)/) 当且仅当 /(F(x)-G(x)/) 为常数。

• 由前推后：令 /(/phi(x)=F(x)-G(x)/) ，则 /(/phi'(x)=F'(x)-G'(x)=0/) ，由【第2章 §2 —1. 定理零】，/(/phi(x)/) 为常函数，得证。
• 由后推前：显然。

于是我们完备地得到了不定积分的定义。

​ 根据不定积分的定义，有显然的恒等式：

我们把函数 /(y=f(x)/) 的导数写成微分之比 /(y’=/cfrac{/text{d}y}{/text{d}x}/) 的形式，自然地约掉 /(/text{d}x/) 得到：

于是，我们可以理解为： /(/int/) 和 /(/text{d}/) 是一对互逆运算！^[1]

​ 不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则：

对于函数 /(u=f(x)/) ，/(v=g(x)/) ：

​ /((ⅰ)/quad/) 加减法则： /(/int{(u /pm v)/text{d}x}=/int{u}/text{d}x /pm /int{v/text{d}x}/)
​ /((ⅱ)/quad/) 系数法则： /(/int{(k/cdot u)/text{d}x}=k/cdot/int{u/text{d}x}/) （ /(k/) 为常数）

但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧（以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字，改为了“分部积分法”和“换元积分法”），我们会专辟一节加以讨论，此处且按下不表。

—2.微积分基本定理

​ 读到此处你一定会发现一件怪事：定积分和不定积分的定义迥然不同，但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理（又名牛顿-莱布尼茨定理）：

若 /(F'(x)=f(x)/) ，则：

/[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=F(b)-F(a) /]

我们有时记等号右侧为 /(F(x)|_a^b/) ，如同时记 /(F(x)=/int{f(x)/text{d}x}/) ，就能得到如下的优美式子：

/[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=/left./int{f(x)/text{d}x}/right|_a^b /]

​ 是不是令人折服？现在运用拉格朗日中值定理证明之：

证明：若 /(F'(x)=f(x)/) ，则：

/[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=F(b)-F(a) /]

摆出定积分的定义式：

/[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=/lim_{/lambda/to0}{/sum_{i=1}^{n}{f(/xi_i)/Delta x_i}} /]

对于任意一段 /([x_{i-1},x_i]/) ，由拉格朗日中值定理^[2]，有：

/[F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)/Delta x_i/qquad c_i/in(x_{i-1},x_i) /]

由于 /(/xi_i/) 的选取是任意的，不妨令 /(/xi_i=c_i/) ，那么：

/[/sum_{i=1}^{n}{f(/xi_i)/Delta x_i}= /sum_{i=1}^{n}{f(c_i)/Delta x_i}= /sum_{i=1}^{n}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}= F(x_n)-F(x_0) /]

所以：

/[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=/lim_{/lambda/to0}{/sum_{i=1}^{n}{f(/xi_i)/Delta x_i}} =/lim_{/lambda/to0}{(F(x_n)-F(x_0))}=F(b)-F(a) /]

命题得证。

​ 有了微积分基本定理，我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度，这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时，其意义则十分重大：从几何角度，“积分”就是求曲边图形面积，“微分”就是求曲线斜率；从物理角度，“积分”就是求连续变化系统的宏观状态，“微分”就是求连续变化系统的微观改变；微积分基本定理就是在说，以上这两对操作分别互逆！

​ 有了微积分基本定理之后，我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题，定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。

—3.微积分基本定理的相关结论和例子

​ 如下结论从证明的路线上来说，理应出现再微积分基本定理前边（至少是同时），但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。

1. 积分中值定理
   

   对于区间 /([a,b]/) 上的函数 /(f(x)/) ，存在 /(c/in[a,b]/) 使得：

   /[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=f(c)(b-a) /]

   令 /(F(x)=/int{f(x)/text{d}x}/) ，则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理：

   /[/int_a^b{f(x)/text{d}x}=F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a) /]

2. 原函数存在定理
   

   对于函数 /(f(x)/) ，如下的函数 /(F(x)/) 是其原函数：

   /[F(x)=/int_a^x{f(t)/text{d}t} /]

   给定自变量增量 /(/Delta x/) ，则函数 /(F(x)/) 获得增量：

   /[/Delta F=F(x+/Delta x)-F(x) =/int_a^{x+/Delta x}{f(t)/text{d}t}-/int_a^x{f(t)/text{d}t} =/int_x^{x+/Delta x}{f(t)/text{d}t} /]

   根据积分的定义式，记 /(f(x)/) 在区间 /([x,x+/Delta x]/) 上的最大最小值分别为 /(M(f),m(f)/) ，有：

   /[m(f)/Delta x/leqslant /int_x^{x+/Delta x}{f(t)/text{d}t}/leqslant M(f)/Delta x /]

   当 /(/Delta x/to 0/) 时，有 /(/lim m(f)=/lim M(f)=f(x)/) ，于是由夹逼定理：

   /[/lim_{/Delta x/to 0}{/frac{1}{/Delta x}/int_x^{x+/Delta x}{f(t)/text{d}t}}=f(x) /]

   套用导数的定义：

   /[F'(x)=/lim_{/Delta x/to 0}{/frac{/Delta F}{/Delta x}} =/lim_{/Delta x/to 0}{/frac{1}{/Delta x}/int_x^{x+/Delta x}{f(t)/text{d}t}} =f(x) /]

   意既 /(F(x)/) 是 /(f(x)/) 的原函数。

   附注：
   这一定理是微积分基本定理的另一种证法（抑或另一种形式）。许多求导与积分的结合，或这极限与积分的结合，往往可使用这一定理。

​ 下面举一些简单但有趣的积分计算的例子：

1. /(/sin x/) 下的面积

计算函数 /(/sin x/) 与 /(x/) 轴在区间 /([0,/pi]/) 上围成的面积 /(S/) 。

根据定积分的几何意义，以及由 /((/cos x)’=-/sin x/) ，有：

/[S=/int_0^/pi {/sin x/text{d}x}=(-/cos x)/Big|_0^/pi=/cos 0-/cos/pi=2 /]

2. 两个函数所夹的面积
   

   如图（文件 §2-3-2.ggb ）计算由 /(f:y=x^2,g:y=/sqrt{x+1},x=-1,x=2/) 围成的阴影面积 /(S/) 。

   

   首先算出 /(f,g/) 两函数的原函数（不妨令积分常数 /(C=0/) ）：

   /[F(x)=/int{f(x)/text{d}x}=/frac{1}{3}x^3/quad,/quad G(x)=/int{g(x)/text{d}x}=/frac{2}{3}(x+1)^{/frac{3}{2}} /]

   我们将如图的阴影分为三块：以 /(A,B,C/) 为顶点的曲边三角状面积 /(S_1/) ，以 /(C,D/) 为顶点的叶子状面积 /(S_2/) ，以 /(D,E,F/) 为顶点的曲边三角状面积 /(S_3/) 。整个积分区间 /([-1,2]/) 相应分为三段 /([-1,x_C],[x_C,x_D],[x_D,2]/) （先不解出 /(C,D/) 的坐标），分别算出：

   /[S_1=/int_{-1}^{x_C}{(f(x)-g(x))/text{d}x}=(F(x)-G(x))/Big|_{-1}^{x_C} =F(x_C)-G(x_C)-F(-1)+G(-1) // S_2=/int_{x_C}^{x_D}{(g(x)-f(x))/text{d}x}=(G(x)-F(x))/Big|_{x_C}^{x_D} =G(x_D)-F(x_D)-G(x_C)+F(x_C) // S_3=/int_{x_D}^{2}{(f(x)-g(x))/text{d}x}=(F(x)-G(x))/Big|_{x_D}^{2} =F(2)-G(2)-F(x_D)+G(x_D) /qquad /]

   将上三项相加，带入 /(x_C /approx -0.724,x_D /approx 1.221/) ，得到 /(S=S_1+S_2+S_3 /approx 2.29/) 。

3. 运用积分夹逼
   

   求证：/(18/leqslant/displaystyle/sum_{x=1}^{100}{/frac{1}{/sqrt{x}}}/leqslant 19/)

   由于下面两幅图（文件 §2-3-3.ggb ），其中橙色和蓝色部分是原和/(-1/) ，青色和黄色的部分是函数 /(f(x)=/frac{1}{/sqrt{x}}/) 在区间 /([2,100]/) 和 /([1,99]/) 上分别做的积分，

   

   根据图像有 /(S_{青}<S_{蓝}=S_{橙}<S_{黄}/) ，因而我们可以得到：

   /[2/sqrt{100}-2/sqrt{2}=/int_{2}^{100}{/frac{1}{/sqrt{x}}/text{d}x}< /sum_{x=2}^{100}{/frac{1}{/sqrt{x}}} </int_{1}^{99}{/frac{1}{/sqrt{x}}/text{d}x}=/sqrt{99}-/sqrt{1} /]

   因此：

   /[18<2/sqrt{100}-2/sqrt{2}+1</sum_{x=1}^{100}{/frac{1}{/sqrt{x}}}<2/sqrt{99}-2/sqrt{1}+1<19 /]

   附注：
   此题当然有初等解法。注意到：

   /[/sqrt{x+1}+/sqrt{x}>2/sqrt{x}>/sqrt{x}+/sqrt{x-1} // /frac{1}{/sqrt{x+1}+/sqrt{x}}</frac{1}{2/sqrt{x}}</frac{1}{/sqrt{x}+/sqrt{x-1}} // 2/sqrt{x+1}-2/sqrt{x}</frac{1}{/sqrt{x}}<2/sqrt{x}-2/sqrt{x-1} /]

   因而原和满足（此处将 /(x=1/) 单列是为了夹逼的紧度）：

   /[1+/sum_{x=2}^{100}{(2/sqrt{x+1}-2/sqrt{x})}</sum_{x=1}^{100}{/frac{1}{/sqrt{x}}}<1+/sum_{x=2}^{100}{(2/sqrt{x}-2/sqrt{x-1})} // 18<2/sqrt{100}-2/sqrt{2}+1</sum_{x=1}^{100}{/frac{1}{/sqrt{x}}}<2/sqrt{99}-2/sqrt{1}+1<19 /]

   然而认识到这一不等式，上两图的积分图像也是不可或缺的。

§3.特殊积分法

—1.分部、换元积分法

​ 根据已经熟知的求导法则：

有对应的积分恒等式：

第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作

此时它起到将 /(u/) 换为 /(x/) 的作用，被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下：

​ 此两法的详细内容会在下一章讨论，此处先以两个例子感受一二：

1. /(/int{/sec x/text{d}x}/)

   令 /(t=/sin x/) ，则 /(/text{d}x=/frac{1}{/cos x}/text{d}t/) ，代入原式：

   /[/int{/sec x/text{d}x} =/int{/frac{1}{/cos x}/text{d}x} =/int{/frac{1}{/cos^2 x}/text{d}t} =/int{/frac{1}{1-t^2}/text{d}t} /]

   对于这个分式，采取裂项的手段处理（这也会在下一章详细讨论）：

   /[/int{/frac{1}{1-t^2}/text{d}t} =/frac{1}{2}/int{/frac{1}{1-t}/text{d}t}+/frac{1}{2}/int{/frac{1}{1+t}/text{d}t} =/frac{1}{2}/ln{(1-t)}+/frac{1}{2}/ln{(1+t)}+C /]

   由于 /(t=/sin{x}/in[-1,1]/) ，故 /(/ln/) 内不必带绝对值。回代 /(t=/sin x/) ，并化简：

   /[/frac{1}{2}/ln{(1-t)}+/frac{1}{2}/ln{(1+t)}+C =/ln{/sqrt{/frac{1-/sin x}{1+/sin x}}}+C =/ln{/vert/tan x+/sec x/rvert}+C /]

   得到答案：

   /[/int{/sec x/text{d}x}=/ln{/vert/tan x+/sec x/rvert}+C /]

   附注：
   另有一极巧妙的做法：

   /[/begin{align*} /int{/sec x/text{d}x} & =/int{/frac{/sec^2 x+/tan x/sec x}{/sec x+/tan x}/text{d}x} // & =/int{/ln'(/sec x+/tan x)/cdot(/sec x+/tan x)’/text{d}x} // & =/ln{/vert/tan x+/sec x/rvert}+C /end{align*} /]

   套用 /(f(g(x))+C=/int{f'(g(x))g'(x)/text{d}x}/) 。

2. /(/int{e^x/sin x/text{d}x}/)

   令 /(u=e^x,v=/sin x/) ，套用两次分部积分法：

   /[/begin{align*} /int{e^x/sin x/text{d}x} &=e^x/sin x-/int{e^x/cos x/text{d}x} // & =e^x/sin x-/left(e^x/cos x-/int{e^x(-/sin x)/text{d}x}/right) // & =e^x(/sin x+/cos x)-/int{e^x/sin x/text{d}x} /end{align*} /]

   于是得出：

   /[/int{e^x/sin x/text{d}x}=/frac{e^x}{2}(/sin x+/cos x) /]

   附注：此类形如 /(e^xf(x)/) 的积分常用分部积分法，通常最终会在等号右侧重现原积分。

—2.反常积分

​ 反常积分，是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分，这些点被称为“瑕点”。例如

就有 /(-/infin,-1,+1,+/infin/) 四个瑕点。

​ 总可以通过拆分，将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点，并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义，容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义（以下的 /(c/) 皆是函数无定义的点）：

​ 我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断：

由于被积函数 /(/cfrac{x}{x^2-1}/) 是奇函数，所以

/[/begin{align*} /int_{-/infin}^{+/infin}{/frac{x}{x^2-1}/text{d}x} & =/lim_{t/to+/infin}{/left(/int_{-t}^{0}{/frac{x}{x^2-1}/text{d}x}+/int_{0}^{t}{/frac{x}{x^2-1}/text{d}x}/right)} // & =/lim_{t/to+/infin}{/left(/int_{0}^{t}{/frac{-x}{x^2-1}/text{d}x}+/int_{0}^{t}{/frac{x}{x^2-1}/text{d}x}/right)}=0 /end{align*} /]

如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分：

然后老老实实按定义：

首先取出第一个积分：

依次计算剩余积分，得出的结果分别是 /(-/infin,+/infin,-/infin,/infin,/infin/) ，这些无穷互不关联，于是原积分的结果是一个不存在的值。

—3.体积、弧长、表面积积分

​ 所谓“面动成体”，积分给予了我们强大的计算面积的工具，那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 /([a,b]/) 上的函数 /(f(x)/) ，我们将它与 /(x/) 轴、直线 /(x=a,x=b/) 围成的面积绕 /(x/) 轴旋转一周，求得到的立体的体积。

​ 回到积分定义的本源，我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条，累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 /(x/) 轴旋转一周，则可以得到一组圆盘，每个圆盘的半径为矩形的高，也就是这一区间内某点的函数值，高为矩形的宽。因此，旋转体就可以横截成多个圆盘，累加来近似。

​ 将思路落实成式子。首先分割区间 /([a,b]/) 为点 /(a=x_0<x_1<x_2</cdots<x_{n-1}<x_n=b/) ，然后将每两点之间的距离 /(/Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}/ (1/leqslant i/leqslant n)/) 作为圆盘的厚度，同时在每个区间 /([x_{i-1},x_i]/) 内取一点 /(/xi_i/) ，并以这一点的函数值 /(f(/xi_i)/) 作为圆盘的半径，算出所有圆盘体积之和：

仿照积分定义的那个极限：

​ 让我们以一个实例练手

求半径为 /(r/) 的球的体积。

球由半圆旋转而成。半径为 /(r/) 的半圆对应函数

/[y=/sqrt{r^2-x^2} /qquad(-r/leqslant x/leqslant r) /]

套用旋转体体积公式：

/[V=/int_{-r}^r{(/sqrt{r^2-x^2})^2/text{d}x} =/int_{-r}^{r}{(r^2-x^2)/text{d}x} =/left(r^2x-/frac{1}{3}x^3/right)/Big|_{-r}^r=/frac{4/pi}{3}r^3 /]

就是我们熟悉的球的体积公式。如下图（文件 §3-3.ggb ，蓝色为球，绿色为推导过程中的圆盘）：

​ 除了绕 /(x/) 轴旋转，还可以绕 /(y/) 轴旋转。此时的函数 /(f(x)/) 与 /(x/) 轴、直线 /(x=a,x=b/) 围成的面积旋转所得的立体，就可以如洋葱一般分割成数层柱壳，其中第 /(i/) 层的体积为 /(/nu_i=f(x_i)/pi(x_{i+1}^2-x_i^2)/) 。若直接将其累加套入极限，是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 /(2/pi x_i/) 为长、柱壳厚度 /(/Delta x_i/) 为宽、柱壳高度 /(f(/xi_i)/) 为高的长方体，其体积为 /(v_i=2/pi x_i /cdot/Delta x_i /cdot f(/xi_i)/) 。将其累加：

仿照积分定义的那个极限：

​ 旋转体当然还可以由绕非 /(x,y/) 轴的轴旋转得到，统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。

​ 积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 /(y=f(x)/) 再闭区间 /([a,b]/) 内的函数图像曲线的长度，首先分割区间 /([a,b]/) 为点 /(a=x_0<x_1<x_2</cdots<x_{n-1}<x_n=b/) ，然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离：

将这些距离累加并求极限：

注意到当 /(/lambda/to 0/) 时， /(/Delta x_i/to 0/) ，则根据导数的定义有 /(/cfrac{/Delta y_i}{/Delta x_i}/sim f'(x)/) ，于是：

​ 我们尝试根据这个式子求圆的周长：

半径为 /(r/) 的半圆对应函数 /(f(x)=/sqrt{r^2-x^2}/) ，则

/[f'(x)=-/frac{x}{/sqrt{r^2-x^2}} /]

套用弧长的公式：

/[L=/int_{-r}^r{/sqrt{1+/left(-/frac{x}{/sqrt{r^2-x^2}}/right)^2}/text{d}x} =/int_{-r}^r{/frac{/text{d}x}{/sqrt{r^2-x^2}}} /]

换元 /(x=r/sin t/) ，则 /(/text{d}x=r/cos t/text{d}t/) ，积分下限 /([-/frac{/pi}{2},/frac{/pi}{2}]/) （注意定积分换元时要一并替换积分区间），原积分变为 （此区间内 /(/cos t/geqslant 0/) ，无需讨论符号）：

/[L=/int_{-/frac{/pi}{2}}^{/frac{/pi}{2}}{/frac{r/cos t/text{d}t}{/sqrt{r^2-(r/sin t)^2}}}=/int_{-/frac{/pi}{2}}^{/frac{/pi}{2}}{r/text{d}t} =rt/Big|_{-/frac{/pi}{2}}^{/frac{/pi}{2}}=/pi r /]

因此圆的周长 /(C=2L=2/pi r/) 。

​ 将曲线绕着轴旋转，就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积，自行推导如下两个绕 /(x,y/) 轴旋转得到旋转曲面的表面积：

§4.积分的实例

—1.万有引力势能

​ 我们考虑一维空间中的情况^[3]。经典力学中，质量为 /(M,m/) 、相距 /(x/) 的两物体之间的万有引力的方向指向对方，其大小可看作关于 /(x/) 的函数：

假定在原点有一质量为 /(M/) 的质点，定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 /(m/) 的质点从无穷远点移动到 /(r_0/) 点过程中万有引力 /(F/) 做的功。我们取足够远的一点 /(r_1/) ，将移动过程 /([r_0,r_1]/) 分为 /(n/) 段，假定每一段上 /(F/) 不变，累加所作的功（此时引力方向与移动方向相同，功为正）：

使区间长 /(/lambda/to 0/) ，右端点 /(r_1/to /infin/) ，得到引力做的功的定义：

这是一个反常积分。做出不定积分：

代回原反常积分得到答案：

由于无穷远点为势能零点，因此 /(r_0/) 点的万有引力势能：

—2.质能方程

​ 我们考虑一维空间中的情况^[4]。在狭义相对论体系中，两个相对速度为 /(u/) 的惯性系满足洛伦兹变换：

若对于一个惯性系有一个速度为 /(v/) 的物体，那么另一个惯性系中此物体的速度

​ 假设有两个相对速度为 /(u/) 的惯性系 /(S,S’/) ，质量均为 /(m_0/) 的两个质点分别相对于 /(S,S’/) 静止。两质点相撞后合并为一个质点 /(M/) ，其相对于 /(S,S’/) 的速度分别为 /(v,v’/) 。假定参考系中物体的质量 /(m/) 是速度的大小 /(|v|/) 的函数。那么由于质量和动量守恒，对于两个惯性系分别有：

于是得到 /(v’=-v/) ，又根据惯性系间的速度变换 （显然，/(u>v/)）：

因此：

​ 于是可定义定义质量为 /(m/) 速度为 /(v/) 的质点的动量 /(p/) 为：

从而质点如此运动时所受的力 /(F/) 为：

同【§4—1】中的功的定义，此力 /(F/) 在区间 /([0,s]/) 上做功：

根据动量的定义计算其导数：

带回原积分：

记洛伦兹因子 /(/gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}/) 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量，假设初始动能为 /(0/) ，那么点 /(s/) 的动能就为 /(E_k=/gamma mc^2-mc^2/) 。我们视第一部分 /(/gamma mc^2/) 为总能量，第二部分 /(E=mc^2/) 为静能，就得到了质能方程。

—3.蒲丰投针问题

平面内有无穷条相距 /(a/) 的平行线，将长度为 /(b/) 的针丢在平面内，求针与平行线相交的概率。

首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 /((x,/theta)/) 描述针在平面内的位置，其中 /(x/) 表示针的中点到距离最近的平行线的距离， /(x/in[0,/frac a 2]/) ；/(/theta/) 表示针与平行线的夹角， /(/theta/in[0,/frac /pi 2]/) 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式：

我们将满足解的数对 /((x,/theta)/) 表在平面内，就会形成如下蓝色区域：

​ 我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前，要注意到当 /(b>a,/sin/theta>/frac a b/) 时，蓝色区域会被限制成矩形，此时要分开求积分。于是：

1. 当 /(b/leqslant a/) 时，
   /[/begin{align*} S & =/int_{0}^{/frac{/pi}{2}}{/frac{b}{2}/sin/theta/text{d}/theta}=-/frac{b}{2}/cos/theta/Big|_0^{/frac{/pi}{2}}=/frac{b}{2} // P & =/frac{S}{S_0}=/frac{/frac{b}{2}}{/frac{a}{2}/cdot/frac{/pi}{2}}=/frac{2b}{/pi a} /end{align*} /]
2. 当 /(b>a/) 时，
   /[/begin{align*} S & =/int_{0}^{/arcsin/frac{a}{b}}{/frac{b}{2}/sin/theta/text{d}/theta}+/int_{/arcsin/frac{a}{b}}^{/frac{/pi}{2}}{/frac{a}{2}/text{d}/theta} // &=-/frac{b}{2}/cos/theta/Big|_0^{/arcsin/frac{a}{b}}+/frac{a}{2}/left(/frac{/pi}{2}-/arcsin/frac{a}{b}/right) // & = /frac{/pi a}{4}+/frac{b}{2}-/frac{1}{2}/sqrt{b^2-a^2}-/frac{a}{2}/arcsin/frac{a}{b} // P & =/frac{S}{S_0}=/frac{/frac{/pi a}{4}+/frac{b}{2}-/frac{1}{2}/sqrt{b^2-a^2}-/frac{a}{2}/arcsin/frac{a}{b}}{/frac{a}{2}/cdot/frac{/pi}{2}} // & =1+/frac{2b}{/pi a}-/frac{2}{/pi a}/sqrt{b^2-a^2}-/frac{2}{/pi}/arcsin/frac{a}{b} /end{align*} /]

综合起来：

读者可自证：给定 /(a/) ，总有 /(0<P<1/) ， /(P/) 随 /(b/) 的增大严格减小，当 /(b/to/infin/) 时 /(P/to 1/) 。

​ 这个实验在历史上曾用来估计 /(/pi/) 的大小，不少人做过此实验（下随意取几例）：

而其中多数要么很不精确，要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承，现在在计算机领域仍广为应用。

—4.不规则物体的引力

求平面内线密度 /(/rho/) 的曲线 /((x(t),y(t)),t/in[a,b]/) 对质量为 /(m/) 的质点 /((p,q)/) 的引力的大小。

老规矩，分割区间 /([a,b]/) ，近似计算出每一段的质量：

取每一段上的一点 /((/xi_i,/psi_i)/) ，算出其到质点的距离：

计算出此段对质点的引力大小：

将力分解到坐标轴方向上：

求和求出合力，并套入极限：

于是这个引力的大小就是 /(F=/sqrt{F_x^2+F_y^2}/) 。

本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说，积分是微分的逆操作（这将在第五章微分方程充分体现）。广义来说，对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分（积分甚至不一定连续，例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”），再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节，我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法，那将是一个纯粹技术性的章节。