1. 线性二自由度汽车质心绝对加速度在车辆坐标系下的公式
在汽车线性二自由度微分方程那篇博客中，我具体推导了/(a_y/)，但是用了近似和忽略。下面将用向量的方法，详细推导出/(a_x、a_y/)。
下面是推导的过程：
其中/(/tau/)向就是切向，而/(n/)向就是法向。
2. 一个汽车跟踪问题的滑模控制实例
例：汽车队列跟踪问题可以抽象出如下的模型：/(/overset{··}{x}=-/overset{·}{x}/ ^2+u/), 设计控制律/(u/)，使/(x/rarr x_d/quad (t/rarr /infty)/)
解：设/(/epsilon=x-x_d/)，则/(/overset{·}{/epsilon}=/overset{·}{x}-/overset{·}{x_d}/)，/(/overset{··}{/epsilon}=/overset{··}{x}-/overset{··}{x_d}/)
可以设计切换函数/(S(/epsilon)=k/epsilon+/overset{·}{/epsilon}/quad (k>0)/)
接下来可以证明切换函数的滑模稳定性、存在性、可达性。
2.1 滑模稳定性
滑模稳定性是指/(S/rarr0/)时，/(/epsilon/rarr0/)且/(/overset{·}{/epsilon}/rarr0/)，即点/((/epsilon,/overset{·}{/epsilon})/)会沿着滑模面/(k/epsilon+/overset{·}{/epsilon}=0/)到达原点。如下图中的黄线所示。
可以很快证明滑模稳定性，根据/(k/epsilon+/overset{·}{/epsilon}=0/)，可以解得/(/epsilon=ce^{-kt}/)，/(/overset{·}{/epsilon}=-cke^{-kt}/)
当/(t/rarr /infty/)时，可知/(/epsilon/rarr0/)，/(/overset{·}{/epsilon}/rarr0/)，滑模存在稳定性。
2.2 滑模存在性与可达性
滑模控制系统存在性的充分条件是 /(/underset{S/rarr0}{lim}S/overset{·}{S}<0/)，该条件可以保证系统在滑模面附近的任意初始状态，都能到达滑模面，是局部到达的条件。
滑模控制系统可达性的充分条件是 /(S/overset{·}{S}<0/)，该条件可以保证系统在状态空间的任意位置，都能到达滑模面，是全局可达条件。
上面两个要素都是指如何到达滑模面的事情，如上图的蓝线所示。
接下来证明滑模可达性（也就证明了存在性）。
可以采用等速趋近律/(/overset{·}{S}=-/lambda sgn(s)/quad(/lambda>0)/)，在该趋近律下，/(S/overset{·}{S}<0/)成立。因为/(S>0/)时，/(/overset{·}{S}<0/)；/(S<0/)时，/(/overset{·}{S}>0/)。
将切换函数/(S(/epsilon)=k/epsilon+/overset{·}{/epsilon}/)左右两边求导，得到
再将/(/overset{··}{/epsilon}=/overset{··}{x}-/overset{··}{x_d}/)带入上式，得到
得到的/(/overset{··}{x}/)与控制律/(u/)存在关系/(/overset{··}{x}=-/overset{·}{x}/ ^2+u/)，所以将它代入上式就引入了控制律。
将上式与等速趋近律联立消去/(/overset{·}{S}/)，得到
/(u/)可以看成/(u_{equ}/)和/(u_N/)两部分：
-
等效控制部分 /(u_{equ}=-k/overset{·}{/epsilon}+/overset{··}{x_d}+/overset{·}{x}/ ^2/)
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反馈控制部分 /(u_N=-/lambda sgn(s)/)
