论文信息

论文标题：Learning Graph Embedding with Adversarial Training Methods
论文作者：Shirui Pan, Ruiqi Hu, Sai-fu Fung, Guodong Long, Jing Jiang, Chengqi Zhang
论文来源：2020, ICLR
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1 Introduction

　　众多图嵌入方法关注于保存图结构或最小化重构损失，忽略了隐表示的嵌入分布形式，因此本文提出对抗正则化框架（adversarially regularized framework）。

2 Method

　　ARGA 框架如下：

　　组成部分：

• • Graph convolutional autoencoder
  • Adversarial regularization

2.1 Graph Convolutional Autoencoder

　　一个频谱卷积函数 $f/left(/mathbf{Z}^{(l)}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}^{(l)}/right)$ :

　　　　$/mathbf{Z}^{(l+1)}=f/left(/mathbf{Z}^{(l)}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}^{(l)}/right)  /quad/quad/quad(1)$

　　采用GCN :

　　　　$f/left(/mathbf{Z}^{(l)}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}^{(l)}/right)=/phi/left(/widetilde{/mathbf{D}}^{-/frac{1}{2}} /widetilde{/mathbf{A}} /widetilde{/mathbf{D}}^{-/frac{1}{2}} /mathbf{Z}^{(l)} /mathbf{W}^{(l)}/right) /quad/quad/quad(2)$

　　图编码器

　　　　$/mathbf{Z}^{(1)}=f_{/text {Relu }}/left(/mathbf{X}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}^{(0)}/right)  /quad/quad/quad(3)$
　　　　$/mathbf{Z}^{(2)}=f_{/text {linear }}/left(/mathbf{Z}^{(1)}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}^{(1)}/right) /quad/quad/quad(4)$

　　我们的图卷积编码器 $/mathcal{G}(/mathbf{Z}, /mathbf{A})=   q(/mathbf{Z} /mid /mathbf{X}, /mathbf{A}) $ 将图结构和节点内容编码为一个表示的 $/mathbf{Z}=q(/mathbf{Z} /mid /mathbf{X}, /mathbf{A})=/mathbf{Z}^{(2)}$。

　　　　$q/left(/mathbf{z}_{/mathbf{i}} /mid /mathbf{X}, /mathbf{A}/right)=/mathcal{N}/left(/mathbf{z}_{i} /mid /boldsymbol{/mu}_{i}, /operatorname{diag}/left(/boldsymbol{/sigma}^{2}/right)/right)/quad/quad/quad(6)$

　　这里，$/boldsymbol{/mu}=/mathbf{Z}^{(2)}$ 是均值向量 $/boldsymbol{z}_{i}$ 的矩阵；同样，$/log /sigma=f_{/text {linear }}/left(/mathbf{Z}^{(1)}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}^{/prime(1)}/right) $ 在 $/text{Eq.3}$ 的第一层与 $/boldsymbol{/mu}$ 共享权值 $/mathbf{W}^{(0)}$。

Decoder model

　　我们的解码器模型用于重建图形数据。我们可以重建图结构 $/mathbf{A}$，内容信息 $/mathbf{X}$，或者两者都可以重建，本文注重重建图结构 $/mathbf{A}$。

　　Decoder 是 $p(/hat{/mathbf{A}} /mid /mathbf{Z})$。

　　我们训练了一个基于图嵌入的链接预测层：

　　　　$p(/hat{/mathbf{A}} /mid /mathbf{Z})=/prod_{i=1}^{n} /prod_{j=1}^{n} p/left(/hat{/mathbf{A}}_{i j} /mid /mathbf{z}_{i}, /mathbf{z}_{j}/right)/quad/quad/quad(7)$

　　　　$p/left(/hat{/mathbf{A}}_{i j}=1 /mid /mathbf{z}_{i}, /mathbf{z}_{j}/right)=/operatorname{sigmoid}/left(/mathbf{z}_{i}^{/top}, /mathbf{z}_{j}/right)/quad/quad/quad(8)$

　　这里的预测 $/hat{/mathbf{A}}$ 应该接近于地面真相 $/mathbf{A}$。

　　嵌入 $Z$ 和重构图 $/hat{/mathbf{A}}$ 可以表示如下：

　　　　$/hat{/mathbf{A}}=/operatorname{sigmoid}/left(/mathbf{Z} /mathbf{Z}^{/top}/right), /text { here } /mathbf{Z}=q(/mathbf{Z} /mid /mathbf{X}, /mathbf{A})/quad/quad/quad(9)$

Optimization

　　对于图编码器，我们通过以下方法来最小化图数据的重构误差：

　　　　$/mathcal{L}_{0}=/mathbb{E}_{q(/mathbf{Z} /mid(/mathbf{X}, /mathbf{A}))}[/log p(/mathbf{A} /mid /mathbf{Z})]/quad/quad/quad(10)$

　　对于变分图编码器，我们对变分下界进行了优化如下：

　　　　$/mathcal{L}_{1}=/mathbb{E}_{q(/mathbf{Z} /mid(/mathbf{X}, /mathbf{A}))}[/log p(/mathbf{A} /mid /mathbf{Z})]-/mathbf{K L}[q(/mathbf{Z} /mid /mathbf{X}, /mathbf{A}) /| p(/mathbf{Z})]/quad/quad/quad(11)$

　　其中，$/mathbf{K L}[q(/bullet) /| p(/bullet)]$ 是 $q(/bullet)$ 和 $p(/bullet)$ 之间的 KL 散度。$p(/bullet)$ 是一个先验分布，它在实践中可以是一个均匀分布，也可以是一个高斯分布 ：$p(/mathbf{Z})= /prod/limits_{i} p/left(/mathbf{z}_{i}/right)=/prod/limits_{i} /mathcal{N}/left(/mathbf{z}_{i} /mid 0, /mathbf{I}/right)$。

2.2  Adversarial Model $/mathcal{D}(/mathbf{Z}) $

　　我们的模型的基本思想是强制潜在表示 $/mathbf{Z}$ 来匹配一个先验分布，这是通过一个对抗性的训练模型来实现的。对抗性模型是建立在一个标准的多层感知器(MLP)上，其中输出层只有一维的 $sigmoid$ 函数。对抗模型作为一个鉴别器来区分潜在代码是来自先前的 $p_{z}$（positive）还是图编码器 $/mathcal{G}(/mathbf{X}, /mathbf{A})$（negative）。通过最小化训练二值分类器的交叉熵代价，最终在训练过程中对嵌入方法进行正则化和改进。该成本的计算方法如下：

　　　　$-/frac{1}{2} /mathbb{E}_{/mathbf{z} /sim p_{z}} /log /mathcal{D}(/mathbf{Z})-/frac{1}{2} /mathbb{E}_{/mathbf{X}} /log (1-/mathcal{D}(/mathcal{G}(/mathbf{X}, /mathbf{A}))) /quad/quad/quad(12)$

　　在我们的论文中，我们检查了对所有模型和任务，设置 $p_{z}$ 为高斯分布和均匀分布。

Adversarial Graph Autoencoder Model

　　用鉴别器 $/mathcal{D}(/mathbf{Z})$ 训练编码器模型的方程可以写如下：

　　　　$/underset{/mathcal{G}}{/text{min }}  /underset{/mathcal{D}}{/text{max }} /mathbb{E}_{/mathbf{z} /sim p_{z}}[/log /mathcal{D}(/mathbf{Z})]+/mathbb{E}_{/mathbf{x} /sim p(/mathbf{x})}[/log (1-/mathcal{D}(/mathcal{G}(/mathbf{X}, /mathbf{A})))]/quad/quad/quad(13)$

　　其中 $/mathcal{G}(/mathbf{X}, /mathbf{A})$ 和 $/mathcal{D}(/mathbf{Z})$ 表示上述说明的发生器和鉴别器。

2.3 Algorithm Explanation

　　算法如下：

2.4 Decoder Variations

GCN Decoder for Graph Structure Reconstruction (ARGA GD)

　　这种方法的变体被命名为 ARGAGD。Fig 2 展示了 ARGAGD 的体系结构。

　　在这种方法中，解码器的输入将从编码器中嵌入，并且图卷积解码器构造如下：

　　　　$/mathbf{Z}_{D}=f_{/text {linear }}/left(/mathbf{Z}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}_{D}^{(1)}/right)/quad/quad/quad(14)$

　　　　$/mathbf{O}=f_{/text {linear }}/left(/mathbf{Z}_{D}, /mathbf{A} /mid /mathbf{W}_{D}^{(2)}/right)/quad/quad/quad(15)$

　　其中，$/mathbf{Z}$ 是从图编码器学习到的嵌入，而 $/mathbf{Z}_{D}$ 和 $/mathbf{O}$ 是从图解码器的第一层和第二层的输出。$/mathbf{O}$ 的水平维数等于节点数。然后，我们计算出重建误差如下：

　　　　$/mathcal{L}_{A R G A_{-} G D}=/mathbb{E}_{q(/mathbf{O} /mid(/mathbf{X}, /mathbf{A}))}[/log p(/mathbf{A} /mid /mathbf{O})]/quad/quad/quad(16)$

GCN Decoder for both Graph Structure and Content Information Reconstruction (ARGA AX)

　　我们进一步修改了我们的图的卷积解码器，以重建图的结构 $/mathbf{A}$ 和内容信息 $/mathbf{X}$。该体系结构如 Fig.3 所示。

　　我们用与每个节点相关的特征数固定第二图卷积层的维数，因此第二层的输出 $/mathbf{O} /in /mathbb{R}^{n /times f} /ni /mathbf{X}$。在这种情况下，重构损失由两个误差组成。首先，图结构的重构误差可以最小化如下：

　　　　$/mathcal{L}_{A}=/mathbb{E}_{q(/mathbf{O} /mid(/mathbf{X}, /mathbf{A}))}[/log p(/mathbf{A} /mid /mathbf{O})] /quad/quad/quad(17)$

　　然后用类似的公式可以最小化节点内容的重构误差：

　　　　$/mathcal{L}_{X}=/mathbb{E}_{q(/mathbf{O} /mid(/mathbf{X}, /mathbf{A}))}[/log p(/mathbf{X} /mid /mathbf{O})] /quad/quad/quad(18)$

　　最终的重构误差是图的结构和节点内容的重构误差之和：

　　　　$/mathcal{L}_{0}=/mathcal{L}_{A}+/mathcal{L}_{X}/quad/quad/quad(19)$

3 Experiments

数据集

节点聚类

4 Conclusion

　　本文提出了一种新的对抗性图嵌入框架。我们认为现有的图嵌入算法都是非正则化方法，忽略了潜在表示的数据分布，在真实图数据中嵌入不足。我们提出了一种对抗性训练方案来正则化潜在码，并强制使潜在码匹配先验分布。对抗性模块与一个图卷积自动编码器共同学习，以产生一个鲁棒表示。我们还利用了ARGA的一些有趣的变化，如ARGADG和ARGAAX，来讨论图卷积解码器对重构图结构和节点内容的影响。实验结果表明，我们的算法ARGA和ARVGA在链路预测和节点聚类任务中优于基线算法。

　　反向正则化图自动编码器(ARGA)有几个方向。我们将研究如何使用ARGA模型生成一些真实的图[64]，这可能有助于发现生物领域的新药。我们还将研究如何将标签信息合并到ARGA中来学习鲁棒图嵌入。